När det kläcks från dess ägg är skalet på en viss krabba 1 cm över när det är fullt odlat ca 10 cm varje ny onetdig större än tidigare hur många skal d?

Låt oss beteckna storleken på krabbens skal i varje tillväxtstadium enligt följande:

S1 =1 cm (initial storlek)

S2 =S1 + 1/3 S1 =4/3 cm

S3 =S2 + 1/3 S2 =7/3 cm

S4 =S3 + 1/3 S3 =10/3 cm

...

Vi kan observera ett mönster här. Storleken på skalet i varje steg erhålls genom att lägga till 1/3 av det föregående stegets storlek.

I allmänhet kan storleken på skalet på det nionde steget uttryckas som:

SN =S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

För att bestämma antalet skal som krabborna (exklusive det initiala skalet) måste vi hitta värdet på N för vilket SN ≥ 10 cm.

10 cm ≤ Sn

10 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

10 cm ≤ S1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]

Vi kan känna igen uttrycket inuti konsolerna som summan av en geometrisk serie med den första termin 1 och det gemensamma förhållandet 1/3. Summan av en geometrisk serie ges av:

Sum =A1 / (1 - R), där A1 är den första termen och R är det vanliga förhållandet.

Ansluter A1 =1 och R =1/3, vi får:

Summa =1/(1 - 1/3) =3/2

Därför,

10 cm ≤ S1 [3/2]

S1 ≥ (10 cm) * (2/3)

S1 ≥ 6,67 cm

Detta innebär att krabban kommer att tappa sitt skal när den når en storlek på cirka 6,67 cm.

För att bestämma antalet skalbod måste vi hitta värdet på n så att SN ≥ 6,67 cm.

6,67 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

6,67 cm ≤ S1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(n-1)]

Eftersom summan av den geometriska serien är 3/2 har vi:

6.67 cm ≤ S1 * (3/2)

S1 ≥ (6,67 cm) * (2/3)

S1 ≥ 4,45 cm

Detta innebär att krabban kommer att tappa sitt skal när storleken överstiger 4,45 cm.

Nu måste vi bestämma antalet steg eller molter som krabban genomgår innan dess storlek överstiger 4,45 cm.

Från och med S1 =1 cm kan vi beräkna de efterföljande stegen enligt följande:

S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm

S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm

S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm

Vi kan se att S4 är större än 4,45 cm. Därför kommer krabban att kasta sitt skal under övergången från det tredje steget (S3) till det fjärde steget (S4).

Så krabban kommer att ha kastat 3 skal (exklusive det initiala skalet) när dess storlek överstiger 10 cm.

• *Vad äter mullkrabbor? 
• *Är Sea Horse tillhör Fiskarna?